22.11.13

LA PARADOJA DE ZENÓN: AQUILES Y LA TORTUGA

Navegando en la plataforma de la universidad (UIP) encontré esta interesante paradoja que nos compartió la Profesora María Cortez. Aquí se las dejo para que la analicen xD...

saludos!!

 Aquiles

Aquiles y la Tortuga
Según la leyenda, Aquiles fue un héroe troyano invulnerable, debido a que su madre, para hacerle invencible lo llevó a la laguna Estigia, morada de Medusa, y lo sumergió en sus aguas sujeto por el talón. Como su talón fue lo único que no se mojó, éste era su único punto débil... el Talón de Aquiles.
 
Famoso por sus grandes cualidades físicas, Aquiles fue elegido por Zenón de Elea (490 a.C. - 430 a.C.) como protagonista de la famosa Paradoja:

Aquiles, el atleta más veloz, capaz de correr los 100 m en 10 segundos, no podrá alcanzar a una lenta tortuga, diez veces menos rápida que él. Ambos disputan una carrera, concediendo Aquiles una ventaja de 100 m a la tortuga. Cuando Aquiles ha cubierto esos 100 m, la tortuga se ha desplazado 10 m. Al cubrir Aquiles esos 10 m, la tortuga se ha desplazado 1 m. Mientras cubre ese metro que le separa de la tortuga, ésta ha recorrido 0.1 m. Y así indefinidamente.

Así, Aquiles debe cubrir infinitos trayectos para alcanzar a la tortuga. Por lo tanto, Aquiles deberá cubrir una distancia infinita, para lo cual necesitará un tiempo infinito. De tal manera que el desgraciado Aquiles nunca alcanzará a la tortuga. 

Tortuga

¿QUÉ ES EL CÁLCULO?

Y... finalmente, ¿qué es el cálculo? :s

En éste interesante y divertido docu, tendrás las respuestas que necesitas!!


PADRES DEL CÁLCULO: RENÉ DESCARTES




René Descartes (La Haye, Turena francesa, 31 de marzo de 1596 - Estocolmo, Suecia, 11 de febrero de 1650), también llamado Renatus Cartesius, fue un filósofo, matemático y físico francés, considerado como el padre de la geometría analítica y de la filosofía moderna, así como uno de los nombres más destacados de la revolución científica.

Hizo famoso el célebre principio cogito ergo sum, ("pienso, luego existo"), elemento esencial del racionalismo occidental, y formuló el conocido como "Método cartesiano", pero del "cogito" ya existían formulaciones anteriores, alguna tan exacta a la suya como la de Gómez Pereira2 en 1554, y del Método consta la formulación previa que del mismo hizo Francisco Sánchez en 1576. Todo ello con antecedentes en Agustín de Hipona y Avicena, por lo que ya en su siglo fue acusado de plagio, entre otros por Pierre Daniel Huet.

Escribió una parte de sus obras en latín, que era la lengua internacional del conocimiento y la otra en francés. En física está considerado como el creador del mecanicismo, y en matemática, de la geometría analítica. Se lo asocia con los ejes cartesianos en geometría, con la iatromecánica y la fisiología mecanicista en medicina, con el principio de inercia en física, con el dualismo filosófico mente/cuerpo y el dualismo metafísico materia/espíritu. No obstante parte de sus teorías han sido rebatidas -teoría del animal-máquina- o incluso abandonadas -teoría de los vórtices-. Su pensamiento pudo aproximarse a la pintura de Poussin por su estilo claro y ordenado.

Su método filosófico y científico, que expone en Reglas para la dirección de la mente (1628) y más explícitamente en su Discurso del método (1637), establece una clara ruptura con la escolástica que se enseñaba en las universidades. Está caracterizado por su simplicidad —en su Discurso del método únicamente propone cuatro normas— y pretende romper con los interminables razonamientos escolásticos. Toma como modelo el método matemático, en un intento de acabar con el silogismo aristotélico empleado durante toda la Edad Media.

Consciente de las penalidades de Galileo por su apoyo al copernicanismo, intentó sortear la censura, disimulando de modo parcial la novedad de las ideas sobre el hombre y el mundo que exponen sus planteamientos metafísicos, unas ideas que supondrán una revolución para la filosofía y la teología. La influencia cartesiana estará presente durante todo el S.XVII: los más importantes pensadores posteriores desarrollaron sistemas filosóficos basados en el suyo; no obstante, mientras hubo quien asumió sus teorías -Malebranche o Arnauld- otros las rechazaron -Hobbes, Spinoza, Leibniz o Pascal-.

Establece un dualismo sustancial entra alma -res cogitans, el pensamiento- y cuerpo -res extensa, la extensión-. Radicalizó su posición al rechazar considerar al animal, al que concibe como una máquina, como un cuerpo desprovisto de alma. Esta teoría será criticada durante la Ilustración, especialmente por Diderot, Rousseau y Voltaire.

En noviembre de 1618 conoció en Breda a Isaac Beeckman, quien intentaba desarrollar una teoría física corpuscularista, muy basada en conceptos matemáticos. El contacto con Beeckman estimuló en gran medida el interés de Descartes por la matemática y la física. Pese a los constantes viajes que realizó en esta época, Descartes no dejó de formarse y en 1620 conoció en Ulm al entonces famoso maestro calculista alemán Johann Faulhaber. Él mismo refiere que, inspirado por una serie de sueños, en esta época vislumbró la posibilidad de desarrollar una ciencia maravillosa. El hecho es que, probablemente estimulado por estos contactos, Descartes descubre el teorema denominado de Euler sobre los poliedros.

A pesar de discurrir sobre los temas anteriores, Descartes no publica entonces ninguno de estos resultados. Durante su estancia más larga en París, Descartes reafirma relaciones que había establecido a partir de 1622 con otros intelectuales, como Marin Mersenne y Guez de Balzac, así como con un círculo conocido como Los libertinos. En esta época sus amigos propagan su reputación, hasta el punto de que su casa se convirtió entonces en un punto de reunión para quienes gustaban intercambiar ideas y discutir. Con todo ello su vida parece haber sido algo agitada, pues en 1628 libra un duelo, tras el cual comentó que “no he hallado una mujer cuya belleza pueda compararse a la de la verdad”.

El año siguiente, con la intención de dedicarse por completo al estudio, se traslada definitivamente a los Países Bajos, donde llevaría una vida modesta y tranquila, aunque cambiando de residencia constantemente para mantener oculto su paradero. Descartes permanece allí hasta 1649, viajando sin embargo en una ocasión a Dinamarca y en tres a Francia.

La preferencia de Descartes por Holanda parece haber sido bastante acertada, pues mientras en Francia muchas cosas podrían distraerlo y había escasa tolerancia, las ciudades holandesas estaban en paz, florecían gracias al comercio y grupos de burgueses potenciaban las ciencias fundándose la academia de Ámsterdam en 1632. Entre tanto, el centro de Europa se desgarraba en la Guerra de los Treinta Años, que terminaría en 1648.

PADRES DEL CÁLCULO: MARÍA GAETANA AGNESI



Su carrera como matemática ocupó 20 de los 81 años de su vida. En 1738 publicó un libro, escrito en latín, con una colección completa de 190 trabajos sobre ciencias naturales y filosofía titulada Proposiciones Filosóficas donde se recogen exposiciones sobre lógica, mecánica, hidráulica, elasticidad, química, botánica, zoología, mineralogía, astronomía, filosofía, la mecánica celeste y la teoría newtoniana sobre la gravitación universal.

Rampinelli animó a María a trabajar en un libro sobre cálculo diferencial. Escribió la obra en italiano como un libro de texto. En 1748 aparecieron sus Instituzioni Analitiche, fruto de diez años de trabajo, que había comenzado con 20 años y terminó antes de cumplir los 30. Fue su principal obra. Era una recopilación sistemática, en dos volúmenes y un total de unas mil páginas. El primer tomo trataba del conocimiento contemporáneo en álgebra y geometría analítica, y el segundo tomo de los nuevos conocimientos en cálculo diferencial e integral, la materia que estaba estudiándose en aquella época.

Fue el primer texto para estudiar el cálculo diferencial e integral, en el que se trataban además las series infinitas y las ecuaciones diferenciales. Incluía muchos ejemplos y problemas cuidadosamente seleccionados para ilustrar las ideas, métodos originales y generalizaciones. Lo había comenzado como distracción, continuado como libro de estudio para sus hermanos más jóvenes y había terminado convirtiéndose en una publicación importante.

Agnesi, con el dinero de su padre, dirigió la impresión del libro en su propia casa, para poder supervisar íntegramente la operación. Rampinelli le sugirió que Riccati le podría ofrecer consejo y contactó con él. El 20 de julio de 1745 María escribió a Riccati, que accedió a leer el borrador final del libro y hacer sugerencias. Riccati contestó rápidamente a esa primera carta de Agnesi y prometió pasar el texto a sus dos hijos, Vincenzo Riccati y Giordano Riccati, que también podían comentar el trabajo. Una vez que Agnesi recibió los comentarios de Riccati de la primera parte del texto, comenzó a organizar la impresión, mientras las otras partes eran enviadas. En 1747 le envió la última parte del libro. El primer volumen del Instituzioni analitiche ad uso della gioventú italiana fue publicado en 1748, mientras Agnesi continuaba escribiendo a Riccati sobre el material del segundo volumen que fue publicado al año siguiente. La acogida fue espectacular:

El informe de una comisión de la Academia de Ciencias de París comentaba: “Esta obra se caracteriza por una cuidadosa organización, su claridad y su precisión. No existe ningún libro, en ninguna otra lengua, que permita al lector penetrar tan profundamente, o tan rápidamente en los conceptos fundamentales del Análisis. Consideramos este Tratado como la obra más completa y la mejor escrita en su género”. Dicha comisión, que decidió la traducción y la publicación de esa obra al francés, estaba formada por D’Alembert, Condorcet y Vandermonde. Fue traducida a varios idiomas, y utilizada como manual en las universidades de distintos países, siendo, incluso cincuenta años más tarde, el texto matemático más completo.

El secretario del comité de la Academia Francesa, aunque le negó el ingreso, escribió: “Permítame, señorita, sumar mi homenaje personal a los aplausos de la Academia entera... No conozco ningún trabajo de este tipo que sea más claro, más metódico o más completo que sus Instituciones analíticas. No hay ninguno en ningún idioma que pueda guiar de manera más segura, conducir con mayor rapidez y llevar más adelante a quienes desean avanzar en las ciencias matemáticas. Admiro en particular el arte con el que reúne usted bajo métodos uniformes las distintas conclusiones dispersas en las obras de los geómetras, y a las que han llegado por métodos diferentes”.

Dedicó el libro a la emperatriz María Teresa de Austria, bajo cuyo reinado estaba Milán, por lo que la emperatriz la recompensó. En la dedicatoria María decía: “Si en algún momento puede excusarse la temeridad de una mujer, que se atreve a aspirar a las sublimidades de una ciencia que no conoce límites, ni siquiera los de la infinitud misma, ciertamente debería ser en este período, en el que reina una mujer, ... En esta época ... toda mujer debería esforzarse, y empeñarse en promover la gloria de su sexo”.


El papa Benedito XIV escribió a Agnesi diciéndole que él había estudiado matemáticas en su juventud por lo que podía apreciar que esta obra otorgaría crédito al país y a la Academia de Bolonia. Concedió a Agnesi una medalla de oro y una corona de piedras preciosas.

María, como hemos visto, fue reconocida como matemática en su época, y sin embargo su reputación histórica fue distorsionada por el hecho de que, en sus Instituzioni Analitiche, trabajara con la “curva de Agnesi” o curva sinusoidal versa, “versiera” en italiano, que significa “virar”, “girar”, que se tradujo al inglés, por un error del traductor, John Colson, como la “bruja de Agnesi”.

Colson, profesor deCambridge, “encontró este trabajo tan excelente que, a una edad avanzada, decidió aprender italiano con el único fin de traducir ese libro y que la juventud inglesa pudiera beneficiarse de él, como lo hacen los jóvenes de Italia”, tan excelente juzgaba la obra. Colson tradujo las Instituciones al inglés hacia 1760, el año de su muerte. Confundió el término “versiera” por "avversiera" que significa bruja, hechicera, (“witch”). Posteriores traducciones y ediciones han mantenido el término. Quizás con mala intención o pretendiendo hacer un chiste sin gracia, ha quedado así inmortalizada en los libros de historia de la matemática.

Esta curva, fue discutida por Fermat en 1703 y se ha establecido recientemente que es una aproximación de la distribución del espectro de la energía de los rayos X y de los rayos ópticos, así como de la potencia disipada en los circuitos de alta frecuencia de resonancia.

PADRES DEL CÁLCULO: BLAISE PASCAL



 


Blaise Pascal (Clermont-Ferrand, 19 de junio 1623 - París, 19 de agosto de 1662) fue un matemático, físico, filósofo cristiano y escritor francés. Sus contribuciones a las matemáticas y las ciencias naturales incluyen el diseño y construcción de calculadoras mecánicas, aportes a la Teoría de la probabilidad, investigaciones sobre los fluidos y la aclaración de conceptos tales como la presión y el vacío. Después de una experiencia religiosa profunda en 1654, Pascal abandonó las matemáticas y la física para dedicarse a la filosofía y a la teología.

Blaise Pascal nació en el seno de una familia noble en Clermont (hoy en día Clermont-Ferrand) en la zona de Auvernia, del Macizo Central francés. Su padre, Étienne Pascal, tras haber recibido una formación como jurista en París, era un magistrado de alto rango (maître des requêtes) que se desempeñaba como juez vicepresidente de la oficina de recaudación tributaria de Auvernia en Clermont. Por otra parte, Étienne Pascal destacaría más tarde como matemático. Su madre, Antoinette Begon provenía de una familia burguesa de comerciantes acomodados que también aspiraba a la Noblesse de robe. Blaise Pascal tenía dos hermanas, Gilberte y Jaqueline. A la primera, tres años mayor que Blaise, se le conoce mucho más, puesto que fue ella quien escribió la primera biografía publicada sobre su hermano. Al nacer Jaqueline, su hermana dos años menor, la madre no logró recuperarse de aquel parto complicado y el puerperio, de modo que Pascal perdió su madre a la temprana edad de tres años.

En 1631, Étienne Pascal se trasladó con su familia a París, conservando en Clermont su puesto en la oficina de recaudación de impuestos. Llevó también a una niñera que estaba a cargo del cuidado de sus tres hijos huérfanos de madre. Blaise tenía para entonces ocho años y el objetivo de su padre era abrirle en la capital francesa mayores posibilidades que las existentes en la provincia para su educación y despliegue de capacidades, a todos los hijos, pero particularmente para Blaise, quien llamaba mucho la atención por su capacidad intelectual superdotada.

Resulta sorprendente que Pascal no haga ninguna mención de esta temprana pérdida. Al respecto, su hermana Gilberte Pascal escribirá en la biografía:
...al morir mi madre en 1626, cuando mi hermano no tenía más que tres años, mi padre, al quedarse solo, se entregó con mayor dedicación al cuidado de la familia; y como Blaise era su único hijo varón, esta cualidad y las demás que en él observó [las grandes pruebas de inteligencia que observó en él] le llenó hasta tal punto de afecto paternal que decidió no encargar a nadie la tarea de su educación y tomó la resolución de instruirle él mismo, como en efecto hizo, pues mi hermano no tuvo nunca otro maestro que mi padre...

El Tiempo en la Normandía
Pascalina del año 1652.
En 1640, su padre fue nombrado Comisario Real y jefe de la recaudación de impuestos para la Normandía con asiento en Ruan. Aquí, en 1642, Pascal inventó para él la roue pascaline, «rueda de pascal» o Pascalina, considerada como una de las calculadoras más antiguas. Inicialmente solo permitía realizar adiciones, pero en el curso de los diez años siguientes recibió permanentes mejoras, siendo finalmente capaz de realizar restas. Pascal la hizo patentar, pero no se cumplieron sus expectativas de hacerse rico comercializando su invento por medio de una pequeña empresa de su propiedad. Las máquinas, trabajosamente confeccionadas una a una y a mano, eran demasiado caras como para poder venderse en volúmenes mayores y solo llegó a fabricar cincuenta, de las que subsisten nueve.

En Ruan, ciudad con universidad, corte de justicia (Parlement) y ricos comerciantes, la familia Pascal pertenecía a la sociedad, aunque el padre se había hecho enemigos por lo enérgico del ejercicio de su cargo. Pascal y su hermana menor Jacqueline, con dotes literarias, cuyos intentos poéticos fueron apoyados por el dramaturgo Pierre Corneille, se movían en este ambiente elegante. Su hermana Gilberte se casó en 1641 con un pariente joven, Florin Périer, traído desde Clermont-Ferrand por el padre para que fuera su ayudante.

En 1646, durante la convalecencia del padre después de un accidente, la familia, que hasta entonces no había sido muy religiosa, entró en contacto con las enseñanzas del obispo reformista holandés Jansenio, que defendía en el seno de la iglesia católica una noción de gracia divina basada en San Agustín, similar a las ideas de Calvino. El padre, el hijo y las hijas se hicieron devotos y Jacqueline incluso decidió hacerse monja, mientras que Pascal, quien sufría fenómenos de parálisis en las piernas con permanentes dolores, interpretó su enfermedad como signo divino y empezó a llevar una vida ascética.

A principios de 1647 demostró el fervor de su nueva devoción forzando al arzobispo de Ruan a castigar a un seminarista, que ante él y amigos suyos había defendido una visión de la religión que les había parecido demasiado racionalista.

Sin embargo, el propio Pascal nunca consideró que su devoción fuera un obstáculo para seguirse dedicando a sus estudios en ciencias naturales y matemáticas. Así, por ejemplo, ya en 1646 repitió con éxito los ensayos que Evangelista Torricelli había realizado en 1643 para demostrar la existencia del vacío, la que hasta entonces se había considerado como imposible, publicando en 1647 sus resultados en el tratado Traité sur le vide (Tratado sobre el vacío).

El Período Parisino
A partir de mayo de 1647 volvió a vivir con Jacqueline y poco después también con su padre principalmente en París, donde contactó a los principales jansenistas, pero también continuó con sus investigaciones. Sus ideas no fueron bien recibidas por numerosos teólogos e investigadores, entre ellos Descartes con el que se reunió repetidas veces en París a fines de septiembre de 1647. Por ello a partir de entonces formuló sus especulaciones sobre el vacío y el éter de una forma más indirecta, particularmente en un tratado sobre la presión atmosférica, demostrando su dependencia de la altura del lugar en cuestión, por medio de experimentos que hizo realizar a su cuñado Périer en el Puy de Dome en 1648. También en 1648, en otro tratado, fundamentó la ley de los vasos comunicantes.

Cuando, en la primavera de 1649, los desórdenes de la Fronda dificultaron la vida en París, los Pascal se refugiaron hasta otoño de 1650 en casa de los Périer en Auvergne.
En otoño de 1651 murió Pascal padre. Poco después y contraviniendo los deseos tanto del fallecido como también de Blaise, Jacqueline se incorporó al convento estrictamente jansenista de Port Royal en París.

Ahora, Pascal por primera vez dependía nada más que de sí mismo. Ya que, si bien no era rico, sí tenía una situación acomodada y era noble, comenzó a frecuentar la sociedad de París, trabando amistad con el joven Duc de Roannez, con el que compartía el interés por la filosofía. Éste lo llevó de viaje en 1652, junto a algunos de sus amigos librepensadores, entre ellos Chevalier de Méré, oportunidad en la que Pascal se introdujo a la filosofía moderna, aprendiendo además el arte de las conversaciones sociales. Gracias al hecho de que frecuentaba el salón esteta de Madame de Sablé, se compenetró también de las «bellas letras» de su época.4 Incluso llegó brevemente a pensar en comprar un cargo y en casarse. Sin embargo, una obra que se le adjudicó por mucho tiempo, al calzar en cierto sentido en esta fase mundana de su vida, el anónimo Discours sur les passions de l’amour (Discurso acerca de las Pasiones del Amor), no es de su autoría.

En 1653 escribió un tratado sobre la presión atmosférica, en el que por primera vez en la historia de la ciencia se hace una descripción completa de la hidrostática.

Junto a sus nuevos conocidos, especialmente con el Chevalier de Méré, Pascal también realizaba discusiones acerca de ganar en los juegos de azar, un pasatiempo típicamente de nobles. Esto lo llevó en 1653 a dedicarse a la teoría de la probabilidad, impulsándola en 1654 a través de su intercambio epistolar con el juez de Toulouse y destacado matemático Pierre de Fermat. Principalmente analizaron juegos de dados. Al mismo tiempo, Pascal se ocupó de otros problemas matemáticos, publicando diversas obras en 1654: el Traité du triangle arithmétique acerca del llamado triángulo de Pascal y los coeficientes binomiales, en el que también por primera vez formuló explícitamente el principio de la demostración por inducción matemática, el Traité des ordres numériques acerca de los órdenes de los números y Combinaisons sobre combinaciones de números.

PADRES DEL CÁLCULO: JOHANN CARL FRIEDRICH GAUSS




Johann Carl Friedrich Gauss, (Brunswick, 30 de abril de 1777 – Gotinga, 23 de febrero de 1855), fue un matemático, astrónomo, geodesta, y físico alemán que contribuyó significativamente en muchos campos, incluida la teoría de números, el análisis matemático, la geometría diferencial, la estadística, el álgebra, la geodesia, el magnetismo y la óptica. Considerado «el príncipe de las matemáticas» y «el matemático más grande desde la antigüedad», Gauss ha tenido una influencia notable en muchos campos de la matemática y de la ciencia, y es considerado uno de los matemáticos que más influencia ha tenido en la Historia. Fue de los primeros en extender el concepto de divisibilidad a otros conjuntos.

Johann Carl Friedrich Gauss nació en el ducado de Brunswick, Alemania, el 30 de abril de 1777, en una familia campesina muy pobre: su abuelo era un humilde jardinero y repartidor. Su padre nunca pudo superar la espantosa miseria con la que siempre convivió. De pequeño Gauss fue respetuoso y obediente, y ya en su edad adulta nunca criticó a su padre, quien murió poco después de que Gauss cumpliera 30 años, por su rudeza y violencia para con él.

Desde muy pequeño, Gauss mostró su talento para los números y para el lenguaje. Aprendió a leer solo y, sin que nadie lo ayudara, aprendió muy rápido la aritmética elemental desde muy pequeño. En 1784, a los siete años de edad, ingresó a una de las escuelas de primeras letras de Brunswick donde daba clases un maestro rural llamado Büttner, quien corrigió rápidamente su lectura, le enseñó gramática, ortografía y caligrafía y perfeccionó su talento matemático y lo animó a continuar el bachillerato, como consta en su carta para que lo aceptaran en el Lyceum; pero quien usaba unos métodos severos y una estricta disciplina, lo que desagradaba a alguien tan sensible. Se cuenta la anécdota de que, a los dos años de estar en la escuela, durante la clase de Aritmética, el maestro propuso el problema de sumar los números de una progresión aritmética.1 Gauss halló la respuesta correcta casi inmediatamente diciendo «Ligget se'» ('ya está'). Al acabar la hora se comprobaron las soluciones y se vio que la solución de Gauss era correcta, mientras que no lo eran muchas de las de sus compañeros.

Su pobreza no le hubiera permitido continuar estudiando, pero presentado ante el duque de Brunswick ingresó al bachillerato bajo su mecenazgo, allí conoció al matemático Martin Bartels quien fue su profesor y se aceleraron sus progresos en Matemáticas. Ambos estudiaban juntos, se apoyaban y se ayudaban para descifrar y entender los manuales que tenían sobre álgebra y análisis elemental. En estos años se empezaron a gestar algunas de las ideas y formas de ver las matemáticas, que caracterizaron posteriormente a Gauss. Se dio cuenta, por ejemplo, del poco rigor en muchas demostraciones de los grandes matemáticos que le precedieron, como Newton, Euler, Lagrange y otros más.

A los 12 años ya miraba con cierto recelo los fundamentos de la geometría, y a los 16 tuvo sus primeras ideas intuitivas sobre la posibilidad de otro tipo de geometría. A los 17 años, Gauss se dio a la tarea de completar lo que, a su juicio, habían dejado sin concluir sus predecesores en materia de teoría de números. Así descubrió su pasión por la aritmética, área en la que poco después tuvo sus primeros triunfos. Su gusto por la aritmética prevaleció por toda su vida, ya que para él «La matemática es la reina de las ciencias y la aritmética es la reina de las matemáticas». Gauss tenía 14 años cuando conoció al duque de Brunswick Ferdinand. Este quedó fascinado por lo que había oído del muchacho, y por su modestia y timidez, por lo que decidió hacerse cargo de todos los gastos de Gauss para asegurar que su educación llegara a buen fin.

Al año siguiente de conocer al duque, Gauss ingresó al Collegium Carolinum para continuar sus estudios, y lo que sorprendió a todos fue su facilidad para las lenguas. Aprendió y dominó el griego y el latín en muy poco tiempo. Estuvo tres años en el Collegium y, al salir, no tenía claro si quería dedicarse a las matemáticas o a la filología. En esta época ya había descubierto su ley de los mínimos cuadrados, lo que indica el temprano interés de Gauss por la teoría de errores de observación y su distribución.

En 1796 demostró que se puede dibujar un polígono regular de 17 lados con regla y compás.

Fue el primero en probar rigurosamente el teorema fundamental del álgebra (disertación para su tesis doctoral en 1799), aunque una prueba casi completa de dicho teorema fue hecha por Jean Le Rond d'Alembert anteriormente.

En 1801 publicó el libro Disquisitiones arithmeticae, con seis secciones dedicadas a la Teoría de números, dándole a esta rama de las matemáticas una estructura sistematizada. En la última sección del libro expone su tesis doctoral. Ese mismo año predijo la órbita de Ceres aproximando parámetros por mínimos cuadrados.

En 1809 fue nombrado director del Observatorio de Gotinga. En este mismo año publicó Theoria motus corporum coelestium in sectionibus conicis Solem ambientium describiendo cómo calcular la órbita de un planeta y cómo refinarla posteriormente. Profundizó sobre ecuaciones diferenciales y secciones cónicas. Gauss murió en Gotinga el 23 de febrero de 1855.

PADRES DEL CÁLCULO: JOSIAH WILLARD GIBBS




New Haven, EE UU, 1839-id., 1903) Físico y químico estadounidense. A la edad de quince años ingresó en la Universidad de Yale, donde obtuvo el primer doctorado en ingeniería concedido por la mencionada institución. Durante un viaje a Europa, entró en contacto con los físicos y matemáticos de mayor prestigio de la época, cuyas novedosas aportaciones estudió con interés.

Centró durante un tiempo su atención en el estudio de la máquina de vapor de Watt; ocupado en el análisis del equilibrio de la máquina, Gibbs empezó a desarrollar un metódo mediante el cual calcular las variables involucradas en los procesos de equilibrio químico.

Dedujo la regla de las fases, que permite determinar los grados de libertad de un sistema fisicoquímico en función del número de componentes del sistema y del número de fases en que se presenta la materia involucrada. También definió una nueva función de estado del sistema termodinámico, la denominada energía libre o energía de Gibbs (G), que permite prever la espontaneidad de un determinado proceso fisicoquímico (como puedan ser una reacción química o bien un cambio de estado) experimentado por un sistema sin necesidad de interferir en el medio ambiente que le rodea.

En 1871 fue designado profesor de física matemática en Yale, tras la publicación de su labor fundamental, que incluyó los títulos Métodos gráficos en termodinámica de fluidos y Sobre el equilibrio de sustancias heterogéneas, este último de importancia trascendental para la posterior evolución de la física y la química modernas.

La descripción adecuada de los procesos termodinámicos desde el punto de vista de la física llevó a Gibbs a desarrollar una innovadora herramienta científica, la mecánica estadística, que con posterioridad se reveló útil para la moderna mecánica cuántica.

21.11.13

PADRES DEL CÁLCULO: LEONHARD EULER



(Basilea, Suiza, 1707 - San Petersburgo, 1783) Matemático suizo. Las facultades que desde temprana edad demostró para las matemáticas pronto le ganaron la estima del patriarca de los Bernoulli, Johann, uno de los más eminentes matemáticos de su tiempo y profesor de Euler en la Universidad de Basilea. Tras graduarse en dicha institución en 1723, cuatro años más tarde fue invitado personalmente por Catalina I para convertirse en asociado de la Academia de Ciencias de San Petersburgo, donde coincidió con otro miembro de la familia Bernoulli, Daniel, a quien en 1733 relevó en la cátedra de matemáticas.

A causa de su extrema dedicación al trabajo, dos años más tarde perdió la visión del ojo derecho, hecho que no afectó ni a la calidad ni al número de sus hallazgos. Hasta 1741, año en que por invitación de Federico el Grande se trasladó a la Academia de Berlín, refinó los métodos y las formas del cálculo integral (no sólo gracias a resultados novedosos, sino también a un cambio en los habituales métodos de demostración geométricos, que sustituyó por métodos algebraicos), que convirtió en una herramienta de fácil aplicación a problemas de física. Con ello configuró en buena parte las matemáticas aplicadas de la centuria siguiente (a las que contribuiría luego con otros resultados destacados en el campo de la teoría de las ecuaciones diferenciales lineales), además de desarrollar la teoría de las funciones trigonométricas y logarítmicas (introduciendo de paso la notación e para definir la base de los logaritmos naturales).

En 1748 publicó la obra Introductio in analysim infinitorum, en la que expuso el concepto de función en el marco del análisis matemático, campo en el que así mismo contribuyó de forma decisiva con resultados como el teorema sobre las funciones homogéneas y la teoría de la convergencia. En el ámbito de la geometría desarrolló conceptos básicos como los del ortocentro, el circuncentro y el baricentro de un triángulo, y revolucionó el tratamiento de las funciones trigonométricas al adoptar ratios numéricos y relacionarlos con los números complejos mediante la denominada identidad de Euler; a él se debe la moderna tendencia a representar cuestiones matemáticas y físicas en términos aritméticos.

En el terreno del álgebra obtuvo así mismo resultados destacados, como el de la reducción de una ecuación cúbica a una bicuadrada y el de la determinación de la constante que lleva su nombre. A lo largo de sus innumerables obras, tratados y publicaciones introdujo gran número de nuevas técnicas y contribuyó sustancialmente a la moderna notación matemática de conceptos como función, suma de los divisores de un número y expresión del número imaginario raíz de menos uno. También se ocupó de la teoría de números, campo en el cual su mayor aportación fue la ley de la reciprocidad cuadrática, enunciada en 1783.

A raíz de ciertas tensiones con su patrón Federico el Grande, regresó nuevamente a Rusia en 1766, donde al poco de llegar perdió la visión del otro ojo. A pesar de ello, su memoria privilegiada y su prodigiosa capacidad para el tratamiento computacional de los problemas le permitieron continuar su actividad científica; así, entre 1768 y 1772 escribió sus Lettres à une princesse d'Allemagne, en las que expuso concisa y claramente los principios básicos de la mecánica, la óptica, la acústica y la astrofísica de su tiempo.

De sus trabajos sobre mecánica destacan, entre los dedicados a la mecánica de fluidos, la formulación de las ecuaciones que rigen su movimiento y su estudio sobre la presión de una corriente líquida, y, en relación a la mecánica celeste, el desarrollo de una solución parcial al problema de los tres cuerpos -resultado de su interés por perfeccionar la teoría del movimiento lunar-, así como la determinación precisa del centro de las órbitas elípticas planetarias, que identificó con el centro de la masa solar. Tras su muerte, se inició un ambicioso proyecto para publicar la totalidad de su obra científica, compuesta por más de ochocientos tratados, lo cual lo convierte en el matemático más prolífico de la historia.